Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

，x∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）令g（x）=

f(x)x≥0 f(-x)x＜0

，若函数y=g（x）的图象始终在直线y=1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0，即可得到a；
（2）判断g（x）为偶函数，则有g（x）＞1等价为f（x）＞1在[0，+∞）上恒成立．判断函数f（x）的单调性，即可得到最大值，令a大于最大值即可．

解答： 解：（1）定义域为R，且f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即有a-

1

2

=0，即a=

1

2

；
（2）g（x）=

f(x)，x≥0 f(-x)，x＜0

，
当x=0时，g（0）=f（0），
当x＞0时，-x＜0，g（-x）=f（x）=g（x），
当x＜0时，-x＞0，g（-x）=f（-x）=g（x），
综上可得，g（-x）=g（x）．
g（x）为偶函数．
函数y=g（x）的图象始终在直线y=1的上方，即有g（x）＞1在R上恒成立．
由于g（x）为偶函数，则有f（x）＞1在[0，+∞）上恒成立．
f（x）＞1?a-

1

2x+1

＞1?a＞1+

1

2x+1

，
由于2^x在[0，+∞）递增，则1+

1

2x+1

在[0，+∞）递减，
由于2^x≥1，则1+

1

2x+1

≤

3

2

，
则a＞

3

2

．
则a的取值范围是（

3

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．