Question

已知椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A₁、A₂分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A₁点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意，得，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²=2py，p＞0．由，得p=4．故抛物线C的方程为x²=8y，设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，由，得x²-8kx-8=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．故，代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，由此能求出点Q的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
由题意，得，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求椭圆方程； …（5分）
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²=2py，p＞0．
由，得p=4．
∴抛物线C的方程为x²=8y，
设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，
由，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴，
代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，
由，消去k，得，
即x²=4（y-1），
∴点Q的轨迹方程是x²=4（y-1）．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．