Question

【题目】已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点满足题意．

【解析】

试题分析：（1）根据题意椭圆的焦点在轴上，抛物线的焦点为，所以椭圆的一个焦点为，离心率为，联立解得椭圆的方程；（2）设直线方程为代入椭圆方程中，由韦达定理解得，同时设进而求得的解析式满足定值的条件，找到，得到点的坐标．

试题解析：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，

且

故所求方程为即．

（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：

,则

要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意．