Question

已知圆C：x²+（y-2）²=5，直线l：mx-y+1=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）当m=1时，设圆C与直线l相交于点A和点B，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离可得：圆心C到直线l的距离d，只要证明d＜r，即可得到直线l与与圆C总有两个不同交点．
（2）当m=1时，利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，2）到直线l的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用三角形的面积计算公式可得S_△ABC=

1

2

|AB|•d．

解答：解：（1）圆心C到直线l的距离d=

1

m2+1

≤1＜

5

=r，直线l与与圆C总有两个不同交点．
（2）当m=1时，圆心C（0，2）到直线l的距离d=

|0-2+1|

2

=

2

2

，
∴|AB|=2

5-( 2 2 )2

=3

2

，
S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

×3

2

×

2

2

=

3

2

．

点评：本题考查了直线与圆相交的位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系、点到直线的距离公式、弦长公式、垂径定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．