Question

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.

（I）求证：平面平面；
（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：见解析
（II）二面角的余弦值为 

本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。
（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。
（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。
（I）证明：取的中点，连接

为等腰直角三角形
……………………………………2分
又
是等边三角形
，又
，…………………………4分
，又
平面平面;……………………………………6分
（II）以中点为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则
 ……………………8分
设平面的法向量
，即，解得，
   
设平面的法向量
，即，解得，
…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值为  …………………………12分