Question

已知函数y=e^x
（1）求这个函数在x=e处的切线方程；
（2）过原点作曲线y=e^x的切线，求切线的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求将x=e代入直线方程求切点，然后求导，求x=e处的导数，即切线斜率，求出切线方程y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）先利用导数求出在x=x₀处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．

解答： 解：（1）函数y=e^x，f（e）=e^e，则切点坐标为（e，e^e），
求导y′=e^x，则f′（e）=e^e，即切线斜率为e^e，
则切线方程为y-e^e=e^e（x-e），
化简得y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）y=e^x，y′=e^x，
设切点的坐标为（x₀，e^x0），
则切线的斜率为f′（x₀）=e^x0，
故切线方程为y-e^x0=e^x0（x-x₀），
又切线过原点（0，0），
则-e^x0=e^x0（-x₀），
解得x₀=1，y₀=e，
则切线方程为y=ex．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．