Question

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且•＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．
（2）将直线代入双曲线方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据•＞2求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．
解答：解：（1）设双曲线C₂的方程为-=1，
则a²=4-1=3，c²=4，
由a²+b²=c²，得b²=1，
故C₂的方程为-y²=1．
（2）将y=kx+代入-y²=1，得
（1-3k²）x²-6kx-9=0．
由直线l与双曲线C₂交于不同的两点，得

∴k²≠且k²＜1．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+）（kx₂+）
=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+2=．
又∵•＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
∴＞2，
即＞0，解得＜k²＜3，②
由①②得＜k²＜1，
故k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，是高考的热点．