Question

（2006•海淀区一模）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）当n≥2时，求a_2n-2与a_2n的关系式，并求数列{a_n}中偶数项的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前100项中所有奇数项的和．

Answer 1

分析：（I）由数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，分别令n=2，3代入解出函数值即可；
（Ⅱ）根据条件先求出a_2n-2与a_2n的关系式，从而得到{a_2n-2}是以-

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列，求出通项；
（Ⅲ）当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k，然后利用叠加法可得所有奇数项的和．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，
∴令n=2得a2=

3

2

，令n=3得a3=-

5

2

（II）a_2n-2+1=a_2n-2-2（2n-2）即
a_2n-1=a_2n-2-2（2n-2）
a_2n-1-1=

1

2

a_2n-1+（2n-1）即a_2n=

1

2

a_2n-2-（2n-2）+（2n-1）
∴a_2n=

1

2

a_2n-2+1
∴a_2n-2=

1

2

（a_2n-2-2）
∴{a_2n-2}是以-

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列
∴a_2n=-(

1

2

)n+2
（Ⅲ）∵当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2，3，…，49）
∴叠加可得所有奇数项的和：1-2（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=(

1

2

)49-4802

点评：此题考查了由数列的递推关系求前5项的数值，等比数列的定义及通项公式，分组求和及等比数列的求和公式，同时考查了计算能力，属于中档题．