Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD^底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（1）证明PA∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力， 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O．连结EO ∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点． 在DPAC中，EO是中位线．∴ PA∥EO 而EOÌ平面EDB且PAË平面EDB，所以，PA∥平面EDB． （2）解：作EF^DC交CD于F，连结BF，设正方形ABCD的边长为a． ∵ PD^底面ABCD ∴ PD^DC ∴ EF∥PD   F为DC的中点 ∴ EF^底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故ÐEBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在RtDBCF中， ∵   ∴ 在RtDEFB中， 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为． 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点．设DC=a （1）证明：连结AC，AC交BD于G．连结EG．依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E() ∵ 底面ABCD是正方形∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为() ∴ 这表明，PA∥EG 而EGÌ平面EDB且PAË平面EDB  ∴ PA∥平面EDB （2）解：依题意得B(a，a，0)，C(0，a，0)取DC的中点F()，连结EF，BF ∵ ∴  ∴ FE^FB，FE^DC ∴ FE^底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故ÐEBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在RtDEFB中， ∴ 所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为．