题目内容
设
是定义在
的可导函数，且不恒为0，记
．若对定义域内的每一个
，总有
，则称为“
阶负函数 ”；若对定义域内的每一个，总有
，则称为“阶不减函数”（
为函数
的导函数）．
（1）若
既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数
，使得
恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．
【答案】
（1）
（2）所有满足题设的
都是“2阶负函数”
【解析】
试题分析：解：（1）依题意，
在
上单调递增，
故
恒成立，得
，
2分
因为
，所以．
4分
而当时，
显然在恒成立，
所以．
6分
（2）①先证
：
若不存在正实数
，使得
，则
恒成立．
8分
假设存在正实数，使得，则有
，
由题意，当时，
，可得
在上单调递增，
当
时，
恒成立，即
恒成立，
故必存在
，使得
（其中
为任意常数），
这与
恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当时，，即；
13分
②再证
无解：
假设存在正实数
，使得
，
则对于任意
，有
，即有
，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以无解，
综上得
，即
，
故所有满足题设的都是“2阶负函数”．
16分
考点：新定义
点评：主要是考查了新定义的运用，以及函数与方程的运用，属于中档题。
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是定义在
的可导函数，且不恒为0，记
．若对定义域内的每一个
，总有
，则称
阶负函数”；若对定义域内的每一个
，
为函数
的导函数）．
既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
的取值范围；
，使得
恒成立，试判断
是定义在
上可导函数且满足
对任意的正数
，若
则下列不等式恒成立的是
B、
C、
D、
上可导函数且满足
对任意的正数a,b，若
则下列不等式恒成立的是 
