Question

6．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）+$\sqrt{3}$cos2x-1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{8}{5}$，求cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数f（x）的单调增区间；
（2）由题意可得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，由二倍角公式和诱导公式可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）+$\sqrt{3}$cos2x-1
=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）+$\sqrt{3}$cos2x-1
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=1-2sin²（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=cos（2α+$\frac{2π}{3}$-π）=-cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{7}{25}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和二倍角公式，属中档题．