题目内容

已知向量 $数学公式$ ，向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 夹角为 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）若向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ =（1，0）的夹角为 $数学公式$ ，向量 $数学公式$ ，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求| $数学公式$ + $数学公式$ |的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²，f（A）的最大值为 $数学公式$ ，关于x的方程 $数学公式$ 在 $数学公式$ 上有相异实根，求m的取值范围．

解：（1）令 $\text{[math]}$ =（x，y），则有cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，又向量 $\text{[math]}$ ，故其模为 $\text{[math]}$ ，
则向量 $\text{[math]}$ 人模为1．则有x²+y²=1
（1）向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ =（1，0）的夹角为 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即x=0，故y=±1
又 $\text{[math]}$ 故y=-1，则 $\text{[math]}$ =（0，-1），
向量 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
又A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列故B= $\text{[math]}$
| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（ $\text{[math]}$ -A）=1+ $\text{[math]}$ cos（2A+ $\text{[math]}$ ）
由A∈（0， $\text{[math]}$ ），得2A+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）得cos（2A+ $\text{[math]}$ ）∈[-1， $\text{[math]}$ ）
| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |²∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）故| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2∵A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，∴B= $\text{[math]}$
∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a²
令t=sinA+cosA= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ），则2sinAcosA=t²-1
由于A∈（0， $\text{[math]}$ ]，A+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，故t= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）∈（1， $\text{[math]}$ ]
故有f（A）=t²-1-2t+a²=t²-2t+a²-1，t∈（1， $\text{[math]}$ ]
当t= $\text{[math]}$ 时取到最大值为1-2 $\text{[math]}$ +a²又f（A）的最大值为 $\text{[math]}$ ，故1-2 $\text{[math]}$ +a²= $\text{[math]}$
故a²=4，又a＞0，故a=2
又关于的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有相异实根
即方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有相异实根
因为x∈ $\text{[math]}$ ，故y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ）上是增函数，在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是减函数
方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有相异实根
故 $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ，1），
故m∈[ $\text{[math]}$ ，2）．
分析：由题意先求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标满足有x²+y²=1
（1）由向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ =（1，0）的夹角为 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，由此解出向量 $\text{[math]}$ 的坐标，代入| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |²，用相关公式求其范围，进而求出| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2）先解出B= $\text{[math]}$ ，确定出A的范围，再对f（A）用换元法变形，求出其最值的表达式，判断并求出其最大值是1-2 $\text{[math]}$ +a²，又已知f（A）的最大值为 $\text{[math]}$ ，令两者相等解出参数a的值，再由 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有相异实根，依据三角函数的性质求出参数m满足的范围．
点评：本题考点是三角函数的最值，综合利用二次函数的最值，向量的运算，三角函数的恒等变形，三角函数的最值，及三角函数的图象，涉及到知识广度高，综合性强，做题时要有耐心地对题目中所给的每一个条件细心、严谨转化，对每一个条件所蕴含的本质进行挖掘，逐步向结论靠近，如本题中第二小题，逐层推进比较明显，答题过程中仔细体会此思维脉络．