题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=
，D、E分别为BB1、AC的中点．（1）证明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A1-AD-C1的大小．
【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，证明
，
，即可证明AC⊥平面BDE；
（2）确定平面AC1D的一个法向量、平面AA1D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A1-AD-C1的大小．
解答：
（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），
，C（0，1，0），
，
，
∴
，
，
∴
，
即
，
，而BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：设平面AC1D的一个法向量是
，
则由
，∴
令x=1，则
，
又平面AA1D的一个法向量是
，
∴
∴
，
由图可知二面角为锐角，故A1-AD-C1的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
，，即可证明AC⊥平面BDE；（2）确定平面AC1D的一个法向量、平面AA1D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A1-AD-C1的大小．
解答：
（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，C（0，1，0），，，∴
，，∴
，即
，，而BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；
（2）解：设平面AC1D的一个法向量是
，则由
，∴令x=1，则
，又平面AA1D的一个法向量是
，∴
∴
，由图可知二面角为锐角，故A1-AD-C1的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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