Question

【题目】已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2 ， 可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ．
所以，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ．
（ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以 ，所以÷FQN的面积为 ，同理÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为 ．
【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一般式方程(直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）)，还要掌握椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)的相关知识才是答题的关键．