Question

设有抛物线C：y＝－x²＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

Answer 1

解：(1)设点P的坐标为(x₁，y₁)，则y₁＝kx₁①

y₁＝－x＋x₁－4②

①代入②得x＋(k－)x₁＋4＝0.

∵P为切点，

∴Δ＝(k－)²－16＝0得k＝或k＝.

当k＝时，x₁＝－2，y₁＝－17.

当k＝时，x₁＝2，y₁＝1.

∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.

(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5③

将③代入抛物线方程得x²－x＋9＝0.

设Q点的坐标为(x₂，y₂)，

即2x₂＝9，∴x₂＝，y₂＝－4.

∴Q点的坐标为(，－4)．