Question

6．求函数f（k）=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$的最大值．

Answer 1

分析 化简可得f（k）$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+2}+\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+2}}}$，由基本不等式和不等式的性质可得．

解答 解：化简可得f（k）=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$
=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+2+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+2}+\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+2}}}$
≤$\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+2}•\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+2}}}}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当$\sqrt{{k}^{2}+2}$=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+2}}$即k=±$\sqrt{2}$时取等号．
∴函数f（k）=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．