Question

【题目】已知函数f（x）=4x﹣2x ， 实数s，t满足f（s）+f（t）=0，a=2s+2t ， b=2s+t ．
（1）当函数f（x）的定义域为[﹣1，1]时，求f（x）的值域；
（2）求函数关系式b=g（a），并求函数g（a）的定义域D；
（3）在（2）的结论中，对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=4x﹣2x，f（x）的定义域为[﹣1，1]时，

∴t=2x∈[ ，2]，g（t）=t2﹣t单调递增，

∵g（ ）=﹣ ，g（2）=2，

∴f（x）的值域为：[﹣ ，2]．

（2）解：∵f（s）+f（t）=0，

∴4s﹣2s+4t﹣2t=0，

化简得出：（2s+2t）2﹣22s+t﹣（2s+2t）=0，

∵a=2s+2t，b=2s+t．2s+2t≥2 ．a≥2

∴a2﹣2b﹣a=0，a≥2 ，a≥2 ，a＞0

即b= ，1＜a≤2，D=（1，2]；

（3）解：g（x）= （x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣ ，2]．

∵对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，

∴（0，1][﹣ +m，2+m]．

∴﹣1≤m≤ ．

【解析】（1）换元根据t=2x∈[ ，2]，g（t）=t2﹣t单调递增，即可求f（x）的值域；（2）配方得出：（2s+2t）2﹣22s+t﹣（2s+2t）=0，a2﹣2b﹣a=0，a≥2 ，a≥2 ，a＞0，求解即可得出b= ，1＜a≤2；（3）g（x）= （x2﹣x）∈（0，1]，f（x）∈[﹣ ，2]，对任意x1∈D，都存在x2∈[﹣1，1]，使得g（x1）=f（x2）+m成立，即可求实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．