Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：
（ⅱ）在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，n≥2，由此能求出．
（2）由（1）知，，由a_n+1=a_n+（n+1）d_n，得．
（i）令，则，利用错位相减法能够证明T_n=．
（ii）假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，由此能推导出在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，n≥2，
两式相减得a_n+1=3a_n，n≥2，
又a₂=2a₁+2，又∵{a_n}为等比数列，公比q=3，
所以a₂=2a₁+2=3a₁，则a₁=2，所以．
（2）由（1）知，，
由a_n+1=a_n+（n+1）d_n，得，
（i）令，则
，
∴两式相减，得T_n=．
（ii）假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则，即，
，
∵m，k，p成等差列，∴m+p=2k，
又由上式得k²=mp，解得m=k=p，矛盾，
∴在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查等比数列的判断，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的合理运用．