Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由条件有，解得，
∴，
所以，所求的椭圆方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得：，
不妨设、，
∴，
∴，与题设矛盾．
所以，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1），
设、，联立方程组，消y得：
，
由根与系数的关系知，从而，
又∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得k²=1或，∴k=±1，
所以，所求直线l的方程为y=x+1或者y=-x-1。