Question

【题目】设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．

（1）已知点，求的最小值；

（2）若，直线的斜率是，求的值；

（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;

（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;

（3）因为,故.、两点抛物线上,可得, ,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程, 因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.

（1） 在,设,则

由两点间距离公式可求得:

令,

(当即取等号)

的最小值.

（2） ,,故

则的直线方程 :

将与联立方程组,消掉

则: ,得:

化简为:.

由韦达定理可得: 解得:

,可得: ,故

同理可得:

直线的斜率是

故: 即

的值为.

（3） ,,故

, 在、两点抛物线上

,

,

,故

整理可得:

、、三点互不相同,故:,

可得: 即:

此方程可以看作关于的一元二次方程,

且,,故此方程有两个不相等的实根:

即

故:

解得: 或

点的纵坐标的取值范围: 或.