Question

19．证明：xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）＞$\sqrt{1+{x}^{2}}$-1（x＞0）

Answer 1

分析 设f（x）=xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1（x＞0），求出导数，再由g（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）判断单调性，即可得到f（x）的单调性，即可得证．

解答 证明：设f（x）=xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1（x＞0）
f′（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+x•$\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•（1+$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$）-$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$
=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
由于g（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）的导数为g′（x）=$\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•（1+$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＞0，
即有g（x）在（0，+∞）递增，即g（x）＞g（0）=0，
则f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）递增，
则有f（x）＞f（0）=0，
即为xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1＞0，
则xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）＞$\sqrt{1+{x}^{2}}$-1（x＞0）．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查构造函数，运用导数判断单调性证明不等式的方法，属于中档题．