Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x．
（1）若x=1时函数f（x）有极小值，求a的值；  
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，利用导数为0，即可求出a的值．
（2）通过a＞0，a=0，a＜0，利用导数值的符号判断函数的单调性，求出单调增区间即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-a²
∵当x=1时，f（x）有极小值，∴f′（1）=0
即3-2a-a²=0，解得  a=1或a=-3…（3分）
经检验a=-3和a=1均可使函数f（x）在x=1处取极小值…（5分）
（2）令f′（x）=0即3x²-2ax-a²=0解得x=a或x=-

a

3

…（6分）
①当a＞0时，-

a

3

＜a∴x＜-

a

3

或x＞a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(-∞，-

a

3

)和(a，+∞)…（8分）
②当a=0时，-

a

3

=a=0∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）…（10分）
③当a＜0时，-

a

3

＞a∴x＞-

a

3

或x＜a时，f′(x)＞0，f(x)为增函数
∴f（x）的单调增区间为(-∞，a)和(-

a

3

，+∞)…（12分）

点评：本题考查函数的导数判断函数的单调性，函数的极值的求法，考查计算能力，转化思想．