求证:ex>1+x(x≠0) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求证：e^x>1＋x(x≠0)

答案：
解析：

令f(x)＝e^x－1－x∴f′(x)＝e^x－1

若x＞0则e^x＞1∴f′(x)＞0，f(x)为增函数，

∴f(x)＞f(0)

即e^x－1－x＞e⁰－1－0＝0，∴e^x＞1＋x

若x＜0则e^x＜1∴f′(x)＜0，f(x)为减函数，

∴仍有f(x)＞f(0)∴e^x＞1＋x

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求证：e^x>1＋x(x≠0)

（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.

(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；

(2)求证：n>m；

(3)若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围.

设a为实数，函数f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e^x>x²－2ax＋1.

(本小题满分14分)

已知函数f (x)=e^x，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.

(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；

(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x₁, f (x₁))和(x₂, g(x₂))，其中x₁>0.

①求证：x₁>1>x₂；

②若当x≥x₁时，关于x的不等式ax₂－x+xe+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.

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