Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n．则“|q| =

2

”是“S₆=7S₂”的

充分而不必要

条件．

Answer 1

分析：根据等比数列的前n项和为S_n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：若|q| =

2

，则S6=

a1(1-q6)

1-q

，S2=

a1(1-q2)

1-q

，
即S6=

a1(1-q6)

1-q

=

a1(1-8)

1-q

=-

7a1

1-q

，
S2=

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-2)

1-q

=-

a1

1-q

，
∴S₆=7S₂，
当q=1时，S₆=7S₂不成立．
当q≠1时，由S₆=7S₂得

a1(1-q6)

1-q

=

7a1(1-q2)

1-q

，
即1-q⁶=7-7q²，
∴（1-q²）（1+q²+q⁴）=7（1-q²），
∴（1-q²）（q⁴+q²-6）=0，
（1-q²）（q²-2）（q²+3）=0，
解得q=-1或q=±

2

．
∴“|q| =

2

”是“S₆=7S₂”的充分而不必要条件．
故答案为：充分而不必要条件．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．