Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长是2，点E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求二面角C₁-DE-C的平面角的大小；
（3）求三棱锥D₁-AEC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）设CD₁，C₁D交于点O，连接OE，在三角形BCD₁中，得到OE∥BD₁，从而可证明BD₁∥平面C₁DE．
（2）过C作CF⊥DE于点F，连接C₁F，由三垂线定理得，∠C₁FC为二面角C₁-DE-C的平面角，在直角三角形C₁FC中求解即可．
（3）因为AB∥C₁D₁，可将V _D1-AEC1 即V _A--D1EC1 转化为V _B-D1EC1  计算．

解答：解：（1）证明：设CD₁，C₁D交于点O，连接OE，在三角形BCD₁中，O为CD₁ 中点，E为BC中点，∴OE∥BD₁，OE?面C₁DE，BD₁?面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE．
（2）过C作CF⊥DE于点F，连接C₁F，由三垂线定理得，C₁F⊥DE，∴∠C₁FC为二面角C₁-DE-C的平面角，
   根据等面积法，DC×CE=DE×CF，∴CF=

2

5

 在直角三角形C₁FC中，tan∠C₁FC=

C1C

CF

=

5

2

．所以二面角C₁-DE-C的平面角的大小为arctan

5

2

．
（3）因为AB∥C₁D₁，所以点A到平面C₁D₁E的距离等于B到平面C₁D₁E的距离．
∴V _D1-AEC1=V _A--D1EC1=V _B-D1EC1=V _D1-BEC1=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

点评：本题考查空间直线和平面平行位置关系的判定，二面角、体积的计算．考查空间想象能力，转化、计算能力．（3）问是求三棱锥体积，要注意等体积转化的方法．