题目内容
如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点.?
思路解析：本题证明时可以首先证明GH和EF共面交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点.平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线.因此,点O在直线BD上,直线EF、GH、BD都过点O.在该题中还涉及到证明E、F、H、G四点共面的问题，可利用公理3的推论.?
证明：∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.?
又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3，∴FH∥AC.?
从而FH∥GE.故E、F、H、G四点共面.?
∵AG∶GB=1∶1,AH∶HD=3∶2,∴AG∶GB≠AH∶HD.?
∴GH不平行于BD.同理，EF也不平行于BD.?
∵GH∥EF，∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.?
∵O既在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上.?
又这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条.?
∴点O在直线BD上.∴EF、GH、BD交于一点.
方法归纳 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点.
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