Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差数列，且b₂=a₁b₄=a₁+4
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1可求得a₁=3，n≥2时，由2S_n+3=3a_n得2S_n-1+3=3a_n-1，两式相减得数列递推式2a_n=3a_n-3a_n-1，整理后可判断数列{a_n}是等比数列，从而可求得a_n，进而可求得b₂，b₄及公差d=2，得到b_n=2n-1．
（2）表示出a_nb_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（1）n=1时，2S₁+3=3a₁⇒a₁=3，
n≥2时，2S_n+3=3a_n，①
2S_n-1+3=3a_n-1，②
由①-②得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是首项a₁=3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*），
∴b₂=a₁=3，b₄=a₁+4=7，
∴d=2，∴b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（2）a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ，
则T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，①
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，②
由①-②得：-2T_n=1×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+2×

9×(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）×3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和问题，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．