Question

【题目】已知函数。

（1）若函数的一个极值点为，求的单调区间；

（2）若，且关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) 的单调递增区间为，的单调递减区间为。(2)

【解析】

（1）根据函数的极值点，求得的值，得到函数解析式，利用导数的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）当时，符合题意，

当时， ，该方程有一正一负根，即存在，使得在上单调递减，在上单调递增，结合，求得的取值范围，即可求得的范围．

（1）依题可知函数的定义域为，且，

因为 函数的一个极值点为，所以，即，得，

经检验，符合题意，所以，

所以，

令，即，解得，

令即，解得，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．

（2）当时，符合题意，

当时，，令，

因为，所以，则该方程有两不同实根，且一正一负，

即存在，使得，

可知时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，

因为在上单调递增，且时，，所以，

由，得，

设，则，故在上单调递减，

所以，即为的范围，

综上所述，实数的取值范围是．