Question

用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2ⁿ>n²成立．

Answer 1

证明：(1) 当n＝5时，2⁵>5²，结论成立．

(2) 假设当n＝k(k∈N，k≥5)时，结论成立，即有2^k>k²，

那么当n＝k＋1时，左边＝2^k＋1＝2·2^k>2·k²＝(k＋1)²＋(k²－2k－1)＝(k＋1)²＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)²＝右边.

∴ 也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．

∴ 由(1)、(2)可知，不等式 2ⁿ>n²对n∈N，n≥5时恒成立．