Question

偶函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，不等式f（ax-1）＞f（2+x²）恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、(-2，2

  3

  )
• B、(-2

  3

  ，2)
• C、(-2

  3

  ，2

  3

  )
• D、（-2，2）

Answer 1

分析：由题意根据函数的单调性可得|ax-1|＜2+x²恒成立，故有-2-x²＜ax-1＜2+x²，即

x2+ax+1＞0 x2-ax+3＞0

恒成立，再利用二次函数的性质求得a的范围．

解答：解：由题意可得，偶函数f（x）在（-∞，0]上为增函数，
再根据不等式f（ax-1）＞f（2+x²）恒成立可得|ax-1|＜2+x²恒成立．
故有-2-x²＜ax-1＜2+x²，即

x2+ax+1＞0 x2-ax+3＞0

恒成立．
∴△=a²-4＜0，且△′=a²-12＜0，
解得a²＜4，即-2＜a＜2，
故选：D．

点评：本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于中档题．