题目内容
已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ，|
||
|cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求|
|+|
|的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．
|||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点． （1）求|
|+||的值，并写出曲线C的方程； （2）求△APQ面积的最大值．
解：（1）由题意， 设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|2+|BM|2﹣2|AM|
|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|
|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|
|BM|cos2θ=4
∵|
|
|
|cos2θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴|
|+|
|=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）
由 x=my+1与
，
消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0
显然，方程①的△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有
S=
×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=
，y1y2=
∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=
令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=
由于函数y=t+
在[3，+∞）上是增函数，∴t+
≤
故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3 ∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1
∴|AM|2+|BM|2﹣2|AM|
|BM|cos2θ=4 ∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|
|BM|（1+2cos2θ）=4 ∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|
|BM|cos2θ=4 ∵|
|||cos2θ=3 ∴|AM|+|BM|=4
∴|
|+||=4 因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）
由 x=my+1与
，消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0
显然，方程①的△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有
S=
×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=
令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=
由于函数y=t+
在[3，+∞）上是增函数，∴t+≤ 故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3 ∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1
练习册系列答案
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如图，已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．