Question

（满分12分）如图，在长方体中，分别是棱,上的点，,，  

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)证明平面;

(3)求二面角的正弦值。

Answer 1

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设,依题意得

,,,

（1）易得，，于是

  所以异面直线与所成角的余弦值为。                        （4分）

（2）证明：易知，

于是，因此,,又，

所以平面。                                                （8分）

（3）解：设平面的法向量

则  即

不妨令X=1,可得由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而，

所以二面角的正弦值为                              （12分）