Question

如图，正方形A₁BA₂C的边长为4，D是A₁B的中点，E是BA₂上的点，将△A₁DC及△A₂EC分别沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且二面角A-DC-E为直二面角．

（1）求证：CD⊥DE；   
（2）求AE与面DEC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由折叠后正方形的直角顶点A₁，A₂重合于A，可由线面垂直的判定定理证得AC⊥面ADE，进而得到A-DC-E为直二面角，过A作AF⊥CD于F，由面面垂直的性质定理可得AF⊥面CDE，进而得到AF⊥DE，再由线面垂直的判定定理得到DE⊥面ACD后，可得答案．
（2）由（1）中AF⊥面CDE，可得∠AEF为AE与面DEC所成的角，解Rt△CAD，可求出AF，解Rt△ADE可求出AE，解Rt△AFE可得答案．

解答：证明：（1）∵A₁，A₂重合于A，
∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE，
∴AC⊥DE，由于A-DC-E为直二面角，
过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE
∴AF⊥DE，AC∩AF=A
∴DE⊥面ACD，
∴CD⊥DE（3分）
解：（2）∵AF⊥面CDE，
∴∠AEF为AE与面DEC所成的角，
在Rt△CAD中，AD=2AC=4，
∴DC=2

5

，AF=

4

5

又CD⊥DE
∴在正方形A₁BA₂C中，△DBE与△CA₁D相似
故

A1C

A1D

=

BD

BE

⇒BE=1（2分）
∴在Rt△ADE中，AE=3，
故在Rt△AFE中，sin∠AFE=

AF

AE

=

4 5

15

∴AE与面DEC所成的角为arcsin

4 5

15

（3分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的转化及线面夹角的定义是解答本题的关键．