题目内容
如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1，M为CC1的中点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）试在棱AC上确定一点N，使得AB1∥平面BMN．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）试在棱AC上确定一点N，使得AB1∥平面BMN．
解：（1）证明：取A1B1的中点F，连接A1B，AB1交于点E，连接EF，C1F．
因为△A1B1C1是正三角形，
所以C1F⊥A1B1．
又ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以B1B⊥面A1B1C1，
所以B1B⊥C1F．
所以有C1F⊥面BB1A1A．
ME⊥面BB1A1A
ME⊥AB1，
又在面BB1C1C中，AB1⊥A1B，
所以AB1⊥平面BEM，
所以BM⊥AB1；
（2）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B1C，B1C∩BM=E1，
∵△CE1M∽△B1E1B，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴AB1∥NE1
又∵E1N
面BMN，
AB1
面BMN
∴AB1∥平面BMN
因为△A1B1C1是正三角形，
所以C1F⊥A1B1．
又ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以B1B⊥面A1B1C1，
所以B1B⊥C1F．
所以有C1F⊥面BB1A1A．
ME⊥面BB1A1AME⊥AB1，又在面BB1C1C中，AB1⊥A1B，
所以AB1⊥平面BEM，
所以BM⊥AB1；
（2）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B1C，B1C∩BM=E1，
∵△CE1M∽△B1E1B，
∴
==，∴
==，∴AB1∥NE1
又∵E1N
面BMN，AB1
面BMN∴AB1∥平面BMN
练习册系列答案
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B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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