题目内容

求同时满足下列两个条件的所有复数z：
①z+
10
z
是实数，且1＜z+
10
z
≤6；
②z的实部和虚部都是整数．
分析：根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+
10
z
为一个整体t，进行整体换元，得到 z2-tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．
解答：解：设z+
10
z
=t，则 z2-tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2-40＜0，
解方程得 z=
t
2
±
40-t2
2
 i．
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，
故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．
点评：本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=
1
an•an+1
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2x-1，求证：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜
1
6
（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=
1
2
(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn＜
1
6
；②对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在n0∈N*，使得n≥n0时，Tn＞m．
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
1
6

（Ⅲ）设cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．

（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足.令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求证：（）；

（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，.

求同时满足下列两个条件的所有复数．

（1）是实数，且；

（2）的实部和虚部都是整数．

 

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