题目内容

已知函数f（x）=x3+ax2-4x+5在x=-2时取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-3，1]上的最大值．
分析：（1）先对函数求导，再根据题目代入导数得到a的值
（2）根据导数的单调性求导数的最大值
解答：解：（1）对函数f（x）求导得，f′（x）=3x2+2ax-4因为f（x）在x=-2时取得极值，所以f'（-2）=0，
即12-4a-4=0，解得a=2．                                         
所以 f（x）=x3+2x2-4x+5．                                          
（2）f'（x）=3x2+4x-4，
令f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞
2
3
；  令f'（x）＜0，解得-2＜x＜
2
3
．
所以f（x）在区间（-∞，-2）和(
2
3
，+∞)内单调递增，在(-2，
2
3
)内单调递减，
所以当x=-2时，f（x）有极大值f（-2）=13．
又f（1）=4，
所以函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为13
点评：该题容易忘记求f（1）的值，而简单的根据函数的单点区间只求出飞（-2）的值，虽然f（1）的值不是函数的最大值，但求f（1）的值这一步不可缺少．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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