题目内容
商场销售某种商品，若销售量是商品标价的一次函数，标价越高，销售量越少．把销售量为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为15元/件．如果该商品的成本价是5元/件，商场以高于成本价的标价出售，且能够全部售完．
（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？
（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？
（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？
（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？
分析：（I）设销售量为n，商品的标价为每件x元，利润为y元．则n=kx+b（k＜0），把已知代入可求n与k的关系，从而可得y与x的函数关系，结合二次函数的性质可求
（II）记y1为价格效益，则y1=
=k(x+
-20)，利用基本不等式可求函数的最大值
（II）记y1为价格效益，则y1=
| k(x-5)(x-15) |
| x |
| 75 |
| x |
解答：解：（I）设销售量为n，商品的标价为每件x元，利润为y元．
则n=kx+b（k＜0）
∵0=15k+b，b=-15k，
∴n=k（x-15），
y=（x-5）k（x-15）=k（x-10）2-25k，x∈（5，15]． …（4分）
∵k＜0
∴x=10时，ymax=-25k．即商场要获取最大利润商品的标价应为每件10元．…（6分）
（II）记y1为价格效益，则y1=
=k(x+
-20)≤k(10
-20)
当且仅当x=
即x=5
时，y最大
∴标价为每件5
元时，价格效益最大…（10分）
则n=kx+b（k＜0）
∵0=15k+b，b=-15k，
∴n=k（x-15），
y=（x-5）k（x-15）=k（x-10）2-25k，x∈（5，15]． …（4分）
∵k＜0
∴x=10时，ymax=-25k．即商场要获取最大利润商品的标价应为每件10元．…（6分）
（II）记y1为价格效益，则y1=
| k(x-5)(x-15) |
| x |
| 75 |
| x |
| 3 |
当且仅当x=
| 75 |
| x |
| 3 |
∴标价为每件5
| 3 |
点评：本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，解题的关键是把题目中的数学问题转化为数学问题，然后选择合适的知识进行求解
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某商场销售某种商品，在市场调研中发现，次商品的日销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克），大致满足如下关系：y=
+b，其中3＜x≤8，常数a，b为正实数．
（Ⅰ）在近期的销售统计中，日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系：
若销售价格为3.5，则预计当天的销售量为多少？
（Ⅱ）在长期的销售统计中发现a受市场因素有波动，b趋于稳定，若b=100，且该商品的成本为3元/千克，试确定商场日销售该商品所获得的最低利润．
+b，其中3＜x≤8，常数a，b为正实数．（Ⅰ）在近期的销售统计中，日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系：
| X | … | 3.1 | 4 | 5 | 5.5 | … |
| y | … | 500 | 104 | 101 | 100.64 | … |
（Ⅱ）在长期的销售统计中发现a受市场因素有波动，b趋于稳定，若b=100，且该商品的成本为3元/千克，试确定商场日销售该商品所获得的最低利润．