题目内容
某商场销售某种商品，在市场调研中发现，次商品的日销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克），大致满足如下关系：y=
+b，其中3＜x≤8，常数a，b为正实数．
（Ⅰ）在近期的销售统计中，日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系：
若销售价格为3.5，则预计当天的销售量为多少？
（Ⅱ）在长期的销售统计中发现a受市场因素有波动，b趋于稳定，若b=100，且该商品的成本为3元/千克，试确定商场日销售该商品所获得的最低利润．
| a |
| (x-3)2 |
（Ⅰ）在近期的销售统计中，日销售量y和销售价格x有如下表所示的关系：
| X | … | 3.1 | 4 | 5 | 5.5 | … |
| y | … | 500 | 104 | 101 | 100.64 | … |
（Ⅱ）在长期的销售统计中发现a受市场因素有波动，b趋于稳定，若b=100，且该商品的成本为3元/千克，试确定商场日销售该商品所获得的最低利润．
分析：（Ⅰ）将（4，104），（5，101）代入函数解析式，求出函数解析式，从而可求销售价格为3.5，当天的销售量；
（Ⅱ）设出日销售利润，分类讨论，求函数的最值即可．
（Ⅱ）设出日销售利润，分类讨论，求函数的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意，
，∴
∴y=
+100（3＜x≤8）
当x=3.5时，y=116，
故预计多天的销售量为116千克；
（Ⅱ）设日销售利润为g（x）=
+100(x-3)
∵3＜x≤8，∴0＜x-3≤5，
由
+100(x-3)≥20
，当且仅当
=100(x-3)，即x=3+
时，取“=”
若0＜
≤5，即0＜a≤2500时，g（x）min=20
；
若
＞5，即a＞2500时，g′（x）=
∵x∈（3，8]，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（3，8]上单调递减，
∴x=8时，g（x）min=500+
．
综上，0＜a≤2500时，商场日销售该商品所获得的最低利润为20
元；a＞2500时，商场日销售该商品所获得的最低利润为500+
元．
|
|
∴y=
| 4 |
| (x-3)2 |
当x=3.5时，y=116，
故预计多天的销售量为116千克；
（Ⅱ）设日销售利润为g（x）=
| a |
| x-3 |
∵3＜x≤8，∴0＜x-3≤5，
由
| a |
| x-3 |
| a |
| a |
| x-3 |
| ||
| 10 |
若0＜
| ||
| 10 |
| a |
若
| ||
| 10 |
| 100(x-3)2-a |
| (x-3)2 |
∵x∈（3，8]，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（3，8]上单调递减，
∴x=8时，g（x）min=500+
| a |
| 5 |
综上，0＜a≤2500时，商场日销售该商品所获得的最低利润为20
| a |
| a |
| 5 |
点评：本题考查函数解析式的确定，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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