题目内容
【题目】已知函数
．
(1)若
是函数
的极值点，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
上为单调增函数，求
的取值范围；
(3)设
为正实数，且
，求证： 
．
【答案】(1) 
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出导数，由题意可得
代入可得
，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数
在
上为增函数，可得
恒成立，既有
，当
时， 
，求得右边函数的最小值，即可得到
范围；（3）运用分析法证明，要证
，只需证
，即证
，设
，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.
试题解析：（1）
由题意知
，代入得
，经检验，符合题意.
从而切线斜率 
，切点为
，
切线方程为
（2）
因为
上为单调增函数，所以
上恒成立. 即
在
上恒成立，当
时，由
，得
，设
，所以当且仅当
，即
时， 
有最小值
， 
所以
的取值范围是
（3）要证
，只需证
，
即证
只需证
设
，由（2）知
在
上是单调函数，又
，
所以
，即
成立，所以
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在
处的切线与
轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为
）；（2）由点斜式求得切线方程
.
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