Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据数列的首项和递推关系，求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由 a_n+1=f（a_n）= 得 -=，从而得出结论．
（3）解：由（2）得 a_n =，进而求得b_n，用裂项法求得 s_n=（1-），又 （1-）随n递增，且 （1-）=，可得 ≤，由此求得最小正整数m的值．
解答：（1）解：∵a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
∴a₂ =，a₃=，a₄=．  …（3分）
（2）解：由  a_n+1=f（a_n）= 得 -=，…（8分）
所以，{}是首项为1，公差为的等差数列                              …（9分）
（3）解：由（2）得 =1+（n-1）=，a_n =．     …（11分）
当n≥2时，b_n=a_n-1a_n= （- ），当n=1时，上式同样成立，…（13分）
所以 s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n= （ 1-+-+-+…+-）=（1-）．

因为 ，所以  （1-）＜ 对一切n∈N^*成立，…（16分）
又 （1-）随n递增，且  （1-）=，所以，≤，
所以，m≥2020，m的最小值为2020．  …（18分）
点评：本题主要考查数列与函数的综合应用，数列与函数的综合应用，属于难题．