题目内容

已知函数f（x）=lnx-x²．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

解：（Ⅰ）因为函数f（x）=lnx-x²，x＞0，所以 $\text{[math]}$
令f′（x）＞0，所以0＜x＜ $\text{[math]}$
所以函数f（x）的单调递增区间是（0， $\text{[math]}$ ）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0， $\text{[math]}$ ）为增函数，
同理可得函数f（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）为减函数．…（6分）
所以当0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，
所以函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a²； …（9分）
当a≥ $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，a）上单调递减，
所以函数f（x）最大值为 $\text{[math]}$ …（12分）
综上所述，当0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a²；当a≥ $\text{[math]}$ 时，函数f（x）最大值为 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0， $\text{[math]}$ ）为增函数，同理可得函数f（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）为减函数，进而分类讨论，确定函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的单调性，从而可求函数f（x）最大值．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导，确定函数的单调性是关键．

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