Question

如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

解：以O为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 依题意，可设抛物线弧OC的方程为， ∵点C的坐标为（2，1）， ∴，， 故边缘线OC的方程为， 要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切， 设切点坐标为， ∵， ∴直线EF的的方程可表示为，即， 由此可求得， ∴， ， 设梯形ABEF的面积为S（t），则   ， ∴当t=1时，， 故S（t）的最大值为2.5，此时。