Question

在△ABC中，若cosAcosB=sin2

C

2

，则△ABC是（　　）

• A、等边三角形
• B、等腰三角形
• C、锐角三角形
• D、直角三角形

Answer 1

分析：根据二倍角的余弦函数公式化简等式的左边，然后再根据三角形的内角和为π，利用诱导公式得到cosC=-cos（A+B），代入化简后的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式变形后，可得cos（A-B）=1，由A和B都为三角形的内角，可得A-B=0，进而得到A与B度数相等，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形．

解答：解：∵cosAcosB=sin²

C

2

=

1-cosC

2

，
又cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴2cosAcosB=1-cosC=1-（-cosAcosB+sinAsinB）=1+cosAcosB-sinAsinB，
移项合并得：cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A-B）=1，
又A和B都为三角形的内角，∴A-B=0，即A=B，
∴a=b，
则△ABC是等腰三角形．
故选B

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及等腰三角形的判定，其中利用三角函数的恒等变形得出cos（A-B）=1是解本题的关键．