题目内容
在△ABC中，AB边上的中线CO=4，若动点P满足
=sin2
+cos2
(θ∈R)，则(
+
)•
的最小值是
| PA |
| θ |
| 2 |
| OA |
| θ |
| 2 |
| CA |
| PA |
| PB |
| PC |
-8
-8
．分析：令λ=sin2
，0≤λ≤1，可得
=
+（λ-1）
，再由
=
-
可得-
=（λ-1）
．故要求的式子可化为 2λ（λ-1）•16，再利用二次函数的性质求得它的最小值．
| θ |
| 2 |
| PA |
| OA |
| OC |
| PA |
| OA |
| OP |
| OP |
| OC |
解答：解：令λ=sin2
，0≤λ≤1，则1-λ=cos2
，
∴
=λ
+（1-λ）
=
+（λ-1）
．
再由
=
-
可得-
=（λ-1）
．
故 (
+
)•
=(
+
-2
)•(
-
)=(
+
+(2λ-2)
)•λ
=2
•
+2
•
+2（λ-1）λ
2=2λ（λ-1）•16，
故当λ=
时，2λ（λ-1）8 取得最小值为-8，
故答案为-8．
| θ |
| 2 |
| θ |
| 2 |
∴
| PA |
| OA |
| CA |
| OA |
| OC |
再由
| PA |
| OA |
| OP |
| OP |
| OC |
故 (
| PA |
| PB |
| PC |
| OA |
| OB |
| OP |
| OC |
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| OC |
=2
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| OC |
故当λ=
| 1 |
| 2 |
故答案为-8．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则| AD |
| AC |
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如图，在△ABC中，