Question

（2010•通州区一模）已知数列{a_n}满足a₁=1，an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1（n≥2，n∈N^*），则a₂₀₁₀=

2010

．

Answer 1

分析：先根据条件求出第二以及第三项，并根据递推式得到a_n+1=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

an-1+

1

n

a_n；与已知条件作差即可求出相邻两项之间的关系；最后利用叠乘法即可求出结论．

解答：解：因为：an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1（n≥2，n∈N^*），a₁=1
∴a₂=1，a₃=

3

2

．
∴a_n+1=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

an-1+

1

n

a_n；
∴a_n+1-a_n=

1

n

an⇒

an+1

an

=

n+1

n

；
∴

a2010

a2009

•

a2009

a2008

•

a2008

a2007

…

a3

a2

•

a2

a1

=

a2010

a1

=a₂₀₁₀=

2010

2009

×

2009

2008

×

2008

2007

×…×

3 2

1

× 

1

1

=2010；
∴a₂₀₁₀=2010．
故答案为：2010．

点评：本题主要考察数列的递推式在求数列特殊项中的应用．解决本题的关键在于根据条件求出相邻两项之间的关系．