Question

（2012•汕头二模）已知数列{a_n}是等差数列，a₃=5，a₅=9．数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1-bn

2

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析：（1）法一：设数列的公差为d，利用等差数列的通项公式表示已知，解方程可求得a₁，d，进而可求a_n，
法二：由等差数列的性质d=

a5-a3

5-3

可求公差d，然后结合通项a_n=a₅+（n-5）d可求通项，由已知n=1可求b₁，n≥2时，b_n=s_n-s_n-1可求b_n与b_n-1的递推关系，结合等比数列的通项可求b_n，
（2）代入c_n=a_n•b_n利用错位相减求和即可求解

解答：解：（1）法一：设数列的公差为d
由题意可得

a1++2d=5 a1+4d=9

解得a₁=1，d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
法二：设数列的公差是d
∴d=

a5-a3

5-3

=

9-5

2

=2
∴a_n=a₅+2（n-5）=9+2n-10=2n-1
∵sn=

1-bn

2

当n=1时，b1=s1=

1-b1

2

∴b₁=

1

3

当n≥2时，b_n=s_n-s_n-1=

1

2

(1-bn)-

1

2

(1-bn-1)
=

1

2

(bn-1-bn)
∴

bn

bn-1

=

1

3

∴数列{b_n}是以

1

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列
∴b_n=b1qn-1=(

1

3

)n
（2）c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

∴Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-1

3n

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

lll
两式相减可得，

2Tn

3

=

1

3

+2(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

Tn=1-

n+1

3n

点评：本题主要考查了等差数列的通项 公式的应用及利用数列的递推公式求解数列的通项公式，错位相减求和方法的应用，属于数列知识的简单综合