Question

【题目】设O为坐标原点，点P的坐标为，

（1）若在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；

（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率；

（3）从原点O出发的某质点,按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，求可到达点的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

记抽到的卡片标号为，列出所有的情况，然后分别求出的值，从而得到最大值，设事件为“取到最大值”，根据满足事件的两种情况即可求得概率

求出点落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算二者的比值即可

结合题意推导出，求证数列是以为首项，为公比的等比数列，运用累加法求出结果

（1）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，（x，y）取值为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）

相应的P（x-2，x-y）为：（-1，0），（-1，-1），（-1，-2），（0，1），（0，0），（0，-1）（1，2），（1，1），（1，0）共9种.可知|OP|的最大值为

设事件A为“|OP|取到最大值”，

则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，

（2）设事件B为“P点在第一象限”

若则其所表示的区域面积为

由题意可得事件B满足，

即如图所示的阴影部分，

其区域面积为

（3）点到达点有两种情况：

第一：从点按向量移动到点；

第二：从点按向量移动到点，

所以，，

变化后得：，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列。

所以

所以运用累和法得：

＝