Question

【题目】如图（1），平面五边形中，为正三角形，，，.如图（2）将沿折起到的位置，使得平面平面.点为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线与所成角的正切值为，，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由，，则四边形为平行四边形，即，结合线面平行的判定定理可得平面；

（2）由平行相交的方法，将异面直线通过作平行线的方法使之相交，在作出异面直线所成的角，因为，所以为直线与所成的角，求出，

再由是三棱锥的高，结合已知条件及三棱锥的体积公式即可得解.

（1）证明：取的中点，

连接，，则，，

又，，所以，

则四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接，

因为平面平面，，

平面平面，平面，

所以平面.

所以是三棱锥的高.

因为，所以为直线与所成的角，

由（1）可得，，所以，

由，可知，，则.