Question

19.设函数f（x）=|1－|,x>0.

（Ⅰ）证明:当0<a<b,且f（a）=f（b）时,ab>1;

（Ⅱ）点P（x₀,y₀）（0<x₀<1）在曲线y=f（x）上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x₀表示）.

Answer 1

19.本小题主要考查函数与不等式等知识和思维能力.

（Ⅰ）证法一：因f（x）=|1－|=

故f（x）在（0,1）上是减函数,而在（1,+∞）上是增函数.

由0<a<b且f（a）=f（b）得

0<a<1<b和－1=1－,

即+=22ab=a+b>2.

故>1,即ab>1.

证法二：由f（a）=f（b）得.

若1－与1－同号，

可得1－＝1－a＝b.

与0<a<b矛盾.

故1－与1－必异号.

即－1=1－+=2.

即+=22ab=a+b>2.

故>1,即ab>1.

（Ⅱ）解法一：0<x<1时,y=f（x）=|1－|=－1,

∴f′（x₀）=－,  0<x₀<1.

曲线y=f（x）在点P（x₀,y₀）处的切线方程为：

y－y₀=－（x－x₀）,

即y=－+.

∴切线与x轴、y轴正向的交点为（x₀（2－x₀）,0）和（0,（2－x₀））.

故所求三角形面积的表达式为

A（x₀）=x₀（2－x₀）·（2－x₀）=（2－x₀）².

解法二：设过点P（x₀,y₀）处的切线方程为：y－y₀=k（x－x₀），k为待定系数.

代入y=f（x）=－1  （0<x<1）并整理得

kx²+（y₀+1－kx₀）x－1=0.

因为P是切点，所以方程有重根，故差别式

Δ=（y₀+1－kx₀）²+4k=（）²+4k=0.

即（+kx₀）²=0k=－ （0<x0<1）.

曲线y=f（x）在点P（x₀,y₀）处的切线方程为：y－y₀=－（x－x₀）,

即y=－+.

∴切线与x轴、y轴正向的交点为（x₀（2－x₀）,0）和（0,（2－x₀））.

故所求三角形面积表达式为：

A（x₀）=x₀（2－x₀）·（2－x₀）=（2－x₀）².