Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

Answer 1

解:抛物线y²=４x的准线与对称轴的交点为(-1,0).

设直线MN的方程为y=k(x+1).

由得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

∵直线与抛物线交于M、N两点,

∴Δ=４(k²-2)²-４k⁴＞0,即k²＜|k²-2|, k²＜1,-1＜k＜1.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),抛物线焦点为F(1,0).

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点,

∴MF⊥NF.

∴,

即y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0.

又,x₁x₂=1,

y₁²y₂²=1６x₁x₂=1６且y₁、y₂同号,

∴.

解得.∴,

即直线的倾斜角为或时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.